東京経済大学(改題)

問題
x≧0,y≧0,x+y≦2のとき

z=2xy+ax+4y　の最大値を求めよ

解答;x=tと固定すると

z=2ty+at+4y =(2t+4)y+at・・・①

t≧0より　2t+4>0　なので①は単調増加関数、またyの範囲は

y≧0,y≦2-tより 0≦y≦2-t

よって、zは y=2-t　の時に最大値を取るので

z=(2t+4)(2-t)+at =-2t^2+at+8=-2(t-a/4)^2+8-(a^2/8)

また、t≧0,y≧0　より　0≦t≦2　なので

i]a/4≦0のとき⇔a≦0

t=0で最大値をとるので、(zの最大値)=8・・・(答)

ii]0≦a/4≦2のとき⇔0≦a≦8

t=a/4で最大値をとるので、(zの最大値)=8-(a^2/8)・・・(答)

iii]2≦a/4のとき⇔8≦a

t=2で最大値をとるので、(zの最大値)=2a・・・(答)