筋肉痛きつすぎてわろりんちょｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

【問題】
a_1=1/2,a_(n+1)=2^(n-1)*a_nを満たすとき,
(i)一般項a_nを求めよ。
(ii)a_nの初項から第n項目までの積を求めよ。

※a_1　は数列の初項を表し,a_(n+1)は第n+1番目を表す。
※^は乗数を表し,a^bの場合「aのb乗」と読むものとする。
※*はかけ算の記号を表すものとする。
※log[a]は底をaとする対数を意味するものとする。
※Σ[k=1〜n]は,第1項(初項)から第n項までの和を表すものとする。

【解答】
(i)a_(n+1)=2^(n-1)*a_n について,底を2とする対数を取ると,

log[2]a_(n+1)=log[2]2^(n-1)*a_n
=(n-1)+log[2]a_n

log[2]a_n=A_n とおくと

A_(n+1)=A_n+n-1

A_(n+1)-A_n=n-1

ここで,
n≧2のとき,

A_n=A_1+Σ[k=1〜(n-1)](n-1)
=log[2]a_1+(1/2)n(n-1)-(n-1)
=(1/2)n(n-1)-n
=(1/2)n(n-3)

log[2]a_n=A_nより

n≧2で　a_n=2^｛(1/2)n(n-3)｝

n=1の時も成り立つので,すべての自然数nついて

∴a_n=2^｛(1/2)n(n-3)｝

(ii)a_1*a_2*a_3*・・・*a_(n-1)*a_nを求めたい。

ここで底を2とする対数を取ると

log[2]a_1*a_2*・・・*a_n
=log[2]a_1+log[2]a_2+・・・+log[2]a_n
=Σ[k=1〜n]log[2]a_n

(i)より　log[2]a_n=A_n　なので

Σ[k=1〜n]log[2]a_n=Σ[k=1〜n]A_n
=Σ[k=1〜n](1/2)n(n-3)
=Σ[k=1〜n]｛(1/2)n^2-(3/2)n｝
=(1/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(3/2)*(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)｛n+(1/2)-(9/2)｝
=(1/6)n(n+1)(n-4)

log[2]a_1*a_2*・・・*a_n=(1/6)n(n+1)(n-4) なので

∴a_1*a_2*・・・a_n=2^｛(1/6)n(n+1)(n-4)｝

ついでに,積でなく、和の場合は・・・

(iii)a_nの初項から第n項までの和を求めよ。

a_n=2^｛(1/2)n(n-3)｝より

a_n=2^｛(1/2)n^2-(3/2)n｝
　 =2^｛(n-1)+(1/2)n^2-(5/2)n+1｝
　 =2^｛(1/2)n^2-(5/2)n+1｝*2^(n-1)

よって　初項2^｛(1/2)n^2-(5/2)n+1｝,公比2の等比数列なので

a_1+a_2+・・・+a_n=2^｛(1/2)n^2-(5/2)n+1｝｛(2^n)-1｝/2-1
=2^｛(1/2)n^2-(5/2)n+1｝｛(2^n)-1｝

∴a_1+a_2+・・・a_n=2^｛(1/2)n^2-(3/2)n+1｝-2^｛(1/2)n^2-(5/2)n+1｝

以上,慶応大学の問題でした。

まぁ、これぐらいなら解ける・・・解けるが・・・他の問題が難しいｗｗｗｗｗ

あぁ、あと　(iii)　はかってに付け加えました。