T様へ

メールで解答書くとか面倒杉なんでこっちで！

問:1と10の間にあって素数pを分母とする既約分数の総和が198であるとき、pの値を求めよ。

解:1=p/p 10=10p/p と表せる。よって

p/p,(p+1)/p,(p+2)/p,・・・・,(10p-1)/p,10p/p

となる。ここで必要なのは

(p+1)/p,(p+2)/p,・・・,(10p-2)/p,(10p-1)/p

なのでこれは

初項(a)=(p+1)/p 末項(l)=(10p-1)/p 項数(n)=(10p-1)-(p+1)+1=9p-1

よって　和Sは

S=1/2(9p-1)[｛(p+1)/p｝-｛(10p-1)/p｝]
=11/2(9p-1)

ここから既約分数で無いやつの和を引く。既約分数でないものの和は

2+3+4+5+・・・+8+9=Σ[k=2〜9]k ・・・(*)
ここで　k-1=i　とおくと
k=i+1

2≦k≦9より　1≦i≦8　よって

Σ[k=2〜9]k=Σ[i=1〜8](i+1)=Σ[i=1〜8]i+8
=1/2×8×(8+1)+8=36+8=44

よって既約分数の総和は

11/2(9p-1)-44

これが　198 になるので

11/2(9p-1)-44=198

これを解いて　p=5　　・・・（答）

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(*) について

初項(a)=2 末項(l)=9 項数(n)=9-2+1=8 とするとすぐに出る。

S=1/2×8×(2+9)=4×11=44

今回は敢えて使いたかったものを使った。

わかってもらえたかな・・・？